ƒˆ ˆ ˆ ˆ Œ ˆ PROVA SCRITTA PRELIMINARE PER L ESAME DI MATEMATICA DISCRETA E LOGICA FILA A

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1 ˆ ˆ ƒˆ ˆ ƒˆ ˆ ˆ ˆ Œ ˆ PROVA SCRITTA PRELIMINARE PER L ESAME DI MATEMATICA DISCRETA E LOGICA Avvertenze Se l elaborato consiste in 8 pagine non tutte appartenenti a uno stesso foglio, tutte le pagine devono essere progressivamente e ordinatamente numerate con i numeri naturali da " a 8. Sul frontespizio di ciascun foglio devono essere indicati: il nome e il cognome del candidato (in questo ordine), il numero di matricola del candidato e la fila ( A, B, C oppure D ) di pertinenza. Il voto dell elaborato risulterà dalla somma dei punteggi conseguiti nello svolgimento dei singoli esercizi diminuita di 5 punti, con!ÿ5ÿ% dipendente da quante delle precedenti indicazioni non sono state rispettate. Il candidato è tenuto a scrivere in modo chiaro e accompagnare i passaggi di ciascun esercizio con brevi spiegazioni: in caso contrario, l esercizio verrà considerato non svolto. Nell esercizio 2 è consentito esprimere il risultato mediante somme, prodotti e/o potenze di numeri interi (ma non attraverso altre espressioni). Per tutta la durata della prova non è consentito uscire dall aula per alcun motivo. Esercizio 1 (& punti) FILA A Nell insieme delle coppie ordinate di numeri naturali, sia la relazione di ordine così definita: ( B", C ") ( B#, C# ) se e soltanto se a( B" Ÿ B# ) e ( C " C# ) b dove Ÿ e sono le usuali relazioni di ordine totale definite in. Non è richiesta la verifica che è effettivamente una relazione di ordine in, ma si faccia bene attenzione a come essa è definita: (#( (#, ) (, ) mentre ( $% y, ) (%, &). Si dica, motivando la risposta, se è una relazione di ordine totale in. Posto inoltre A ³ {(', (), (*, "!), ("#, "&), ("$, ')} se A ha minimo, ed in tal caso qual è il minimo; se A ha estremo inferiore in, ed in tal caso qual è tale estremo inferiore; se A ha massimo, ed in tal caso qual è il massimo; se A ha estremo superiore in, ed in tal caso qual è tale estremo superiore. Esercizio 2 (& punti) Posto A ³ {", #, $, %} e B ³ {", #, $, %, &} quante sono le funzioni A Ä B; quante sono le funzioni iniettive A Ä B; quante sono le funzioni suriettive A Ä B; quante sono le funzioni crescenti A Ä B; quante sono le funzioni strettamente crescenti A Ä B; (Ricordiamo che una funzione 0: A Ä B si dice crescente se da B C segue sempre che 0( B) Ÿ0( C), si dice strettamente crescente se da B Csegue sempre che 0( B) 0( C)). (altri esercizi sul retro del foglio!)

2 Esercizio 3 (& punti) Si dimostri che per ogni numero naturale 8 # è 8!a&5 $ b œ 8&8 " # 5œ" Suggerimento: Si proceda per induzione su 8. a b. Esercizio 4 (& punti) Sia '&( l anello delle classi di resto modulo '&(. Per ogni D, indichiamo con [ D] l elemento di '&( a cui D appartiene. Si dica quante soluzioni in '&( ha l equazione [ $)% ] B œ [")*] e, se ve ne sono, si scrivano tutte esplicitamente. Esercizio 5 (& punti) Siano +,-./,,,, variabili proposizionali, e sia ^ ³ {{ +,,, -}, { +,,,.}, { +, c. }, { c+, c. }, { c+, c-,.}, { c+, c/ }, {,, c., /}, {., /}}. Si applichi l algoritmo di Davis-Putnam scegliendo come pivot prima + e poi, in quest ordine per stabilire se ^ è soddisfacibile. Qualora ^ sia soddisfacibile, si trovi una valutazione di verità A che soddisfa ^. Esercizio 6 (& punti) In un opportuno linguaggio della logica dei predicati, siano P e Q simboli di predicato di arietà " e sia Buna variabile individuale. Si stabilisca, motivando la risposta, se ( ab) ap( B) Ä Q( B ) b ( bb) ap( B ) Q( B ) b } ( bb)q( B).

3 ˆ ˆ ƒˆ ˆ ƒˆ ˆ ˆ ˆ Œ ˆ PROVA SCRITTA PRELIMINARE PER L ESAME DI MATEMATICA DISCRETA E LOGICA Avvertenze Se l elaborato consiste in 8 pagine non tutte appartenenti a uno stesso foglio, tutte le pagine devono essere progressivamente e ordinatamente numerate con i numeri naturali da " a 8. Sul frontespizio di ciascun foglio devono essere indicati: il nome e il cognome del candidato (in questo ordine), il numero di matricola del candidato e la fila ( A, B, C oppure D ) di pertinenza. Il voto dell elaborato risulterà dalla somma dei punteggi conseguiti nello svolgimento dei singoli esercizi diminuita di 5 punti, con!ÿ5ÿ% dipendente da quante delle precedenti indicazioni non sono state rispettate. Il candidato è tenuto a scrivere in modo chiaro e accompagnare i passaggi di ciascun esercizio con brevi spiegazioni: in caso contrario, l esercizio verrà considerato non svolto. Nell esercizio 2 è consentito esprimere il risultato mediante somme, prodotti e/o potenze di numeri interi (ma non attraverso altre espressioni). Per tutta la durata della prova non è consentito uscire dall aula per alcun motivo. Esercizio 1 (& punti) FILA B Nell insieme delle coppie ordinate di numeri naturali, sia la relazione di ordine così definita: ( B", C ") ( B#, C# ) se e soltanto se a( B" Ÿ B# ) e ( C " C# ) b dove Ÿ e sono le usuali relazioni di ordine totale definite in. Non è richiesta la verifica che è effettivamente una relazione di ordine in, ma si faccia bene attenzione a come essa è definita: (#( (#, ) (, ) mentre ( $% y, ) (%, &). Si dica, motivando la risposta, se è una relazione di ordine totale in. Posto inoltre A ³ {(&, '), (', %), (*, (), ("", $ )} se A ha minimo, ed in tal caso qual è il minimo; se A ha estremo inferiore in, ed in tal caso qual è tale estremo inferiore; se A ha massimo, ed in tal caso qual è il massimo; se A ha estremo superiore in, ed in tal caso qual è tale estremo superiore. Esercizio 2 (& punti) Posto A ³ {", #, $ } e B ³ {", #, $, %, &} quante sono le funzioni A Ä B; quante sono le funzioni iniettive A Ä B; quante sono le funzioni suriettive A Ä B; quante sono le funzioni crescenti A Ä B; quante sono le funzioni strettamente crescenti A Ä B; (Ricordiamo che una funzione 0: A Ä B si dice crescente se da B C segue sempre che 0( B) Ÿ0( C), si dice strettamente crescente se da B Csegue sempre che 0( B) 0( C)). (altri esercizi sul retro del foglio!)

4 Esercizio 3 (& punti) Si dimostri che per ogni numero naturale 8 " è 8!a&5 # b œ a 8 " ba &8 % b 5œ! Suggerimento: Si proceda per induzione su 8. #. Esercizio 4 (& punti) Sia '$* l anello delle classi di resto modulo '$*. Per ogni D, indichiamo con [ D] l elemento di '$* a cui D appartiene. Si dica quante soluzioni in '$* ha l equazione [ $(& ] B œ [#*(] e, se ve ne sono, si scrivano tutte esplicitamente. Esercizio 5 (& punti) Siano BCD25,,,, variabili proposizionali, e sia ^ ³ {{ B, C, D}, { B, C, 2}, { B, cd}, { cb, cd}, { cb, D, c2}, { cb, c5}, { C, cd, 5}, { D, 5}}. Si applichi l algoritmo di Davis-Putnam scegliendo come pivot prima B e poi C in quest ordine per stabilire se ^ è soddisfacibile. Qualora ^ sia soddisfacibile, si trovi una valutazione di verità A che soddisfa ^. Esercizio 6 (& punti) In un opportuno linguaggio della logica dei predicati, siano H e K simboli di predicato di arietà " e sia Buna variabile individuale. Si stabilisca, motivando la risposta, se ( ab) ah( B) Ä K( B ) b ( bb) ah( B ) K( B ) b } ( bb)k( B).

5 ˆ ˆ ƒˆ ˆ ƒˆ ˆ ˆ ˆ Œ ˆ PROVA SCRITTA PRELIMINARE PER L ESAME DI MATEMATICA DISCRETA E LOGICA Avvertenze Se l elaborato consiste in 8 pagine non tutte appartenenti a uno stesso foglio, tutte le pagine devono essere progressivamente e ordinatamente numerate con i numeri naturali da " a 8. Sul frontespizio di ciascun foglio devono essere indicati: il nome e il cognome del candidato (in questo ordine), il numero di matricola del candidato e la fila ( A, B, C oppure D ) di pertinenza. Il voto dell elaborato risulterà dalla somma dei punteggi conseguiti nello svolgimento dei singoli esercizi diminuita di 5 punti, con!ÿ5ÿ% dipendente da quante delle precedenti indicazioni non sono state rispettate. Il candidato è tenuto a scrivere in modo chiaro e accompagnare i passaggi di ciascun esercizio con brevi spiegazioni: in caso contrario, l esercizio verrà considerato non svolto. Nell esercizio 2 è consentito esprimere il risultato mediante somme, prodotti e/o potenze di numeri interi (ma non attraverso altre espressioni). Per tutta la durata della prova non è consentito uscire dall aula per alcun motivo. Esercizio 1 (& punti) FILA C Nell insieme delle coppie ordinate di numeri naturali, sia la relazione di ordine così definita: ( B", C ") ( B#, C# ) se e soltanto se a( B" Ÿ B# ) e ( C " C# ) b dove Ÿ e sono le usuali relazioni di ordine totale definite in. Non è richiesta la verifica che è effettivamente una relazione di ordine in, ma si faccia bene attenzione a come essa è definita: (#( (#, ) (, ) mentre ( $% y, ) (%, &). Si dica, motivando la risposta, se è una relazione di ordine totale in. Posto inoltre A ³ {(', (), (*, "!), ("#, "&), ("$, ')} se A ha minimo, ed in tal caso qual è il minimo; se A ha estremo inferiore in, ed in tal caso qual è tale estremo inferiore; se A ha massimo, ed in tal caso qual è il massimo; se A ha estremo superiore in, ed in tal caso qual è tale estremo superiore. Esercizio 2 (& punti) Posto A ³ {", #, $, %} e B ³ {", #, $, %, &} quante sono le funzioni A Ä B; quante sono le funzioni iniettive A Ä B; quante sono le funzioni suriettive A Ä B; quante sono le funzioni crescenti A Ä B; quante sono le funzioni strettamente crescenti A Ä B; (Ricordiamo che una funzione 0: A Ä B si dice crescente se da B C segue sempre che 0( B) Ÿ0( C), si dice strettamente crescente se da B Csegue sempre che 0( B) 0( C)). (altri esercizi sul retro del foglio!)

6 Esercizio 3 (& punti) Si dimostri che per ogni numero naturale 8 # è 8!a&5 $ b œ 8&8 " # 5œ" Suggerimento: Si proceda per induzione su 8. a b. Esercizio 4 (& punti) Sia '&( l anello delle classi di resto modulo '&(. Per ogni D, indichiamo con [ D] l elemento di '&( a cui D appartiene. Si dica quante soluzioni in '&( ha l equazione [ $)% ] B œ [")*] e, se ve ne sono, si scrivano tutte esplicitamente. Esercizio 5 (& punti) Siano +,-./,,,, variabili proposizionali, e sia ^ ³ {{ +,,, -}, { +,,,.}, { +, c. }, { c+, c. }, { c+, c-,.}, { c+, c/ }, {,, c., /}, {., /}}. Si applichi l algoritmo di Davis-Putnam scegliendo come pivot prima + e poi, in quest ordine per stabilire se ^ è soddisfacibile. Qualora ^ sia soddisfacibile, si trovi una valutazione di verità A che soddisfa ^. Esercizio 6 (& punti) In un opportuno linguaggio della logica dei predicati, siano P e Q simboli di predicato di arietà " e sia Buna variabile individuale. Si stabilisca, motivando la risposta, se ( ab) ap( B) Ä Q( B ) b ( bb) ap( B ) Q( B ) b } ( bb)q( B).

7 ˆ ˆ ƒˆ ˆ ƒˆ ˆ ˆ ˆ Œ ˆ PROVA SCRITTA PRELIMINARE PER L ESAME DI MATEMATICA DISCRETA E LOGICA Avvertenze Se l elaborato consiste in 8 pagine non tutte appartenenti a uno stesso foglio, tutte le pagine devono essere progressivamente e ordinatamente numerate con i numeri naturali da " a 8. Sul frontespizio di ciascun foglio devono essere indicati: il nome e il cognome del candidato (in questo ordine), il numero di matricola del candidato e la fila ( A, B, C oppure D ) di pertinenza. Il voto dell elaborato risulterà dalla somma dei punteggi conseguiti nello svolgimento dei singoli esercizi diminuita di 5 punti, con!ÿ5ÿ% dipendente da quante delle precedenti indicazioni non sono state rispettate. Il candidato è tenuto a scrivere in modo chiaro e accompagnare i passaggi di ciascun esercizio con brevi spiegazioni: in caso contrario, l esercizio verrà considerato non svolto. Nell esercizio 2 è consentito esprimere il risultato mediante somme, prodotti e/o potenze di numeri interi (ma non attraverso altre espressioni). Per tutta la durata della prova non è consentito uscire dall aula per alcun motivo. Esercizio 1 (& punti) FILA D Nell insieme delle coppie ordinate di numeri naturali, sia la relazione di ordine così definita: ( B", C ") ( B#, C# ) se e soltanto se a( B" Ÿ B# ) e ( C " C# ) b dove Ÿ e sono le usuali relazioni di ordine totale definite in. Non è richiesta la verifica che è effettivamente una relazione di ordine in, ma si faccia bene attenzione a come essa è definita: (#( (#, ) (, ) mentre ( $% y, ) (%, &). Si dica, motivando la risposta, se è una relazione di ordine totale in. Posto inoltre A ³ {(&, '), (', %), (*, (), ("", $ )} se A ha minimo, ed in tal caso qual è il minimo; se A ha estremo inferiore in, ed in tal caso qual è tale estremo inferiore; se A ha massimo, ed in tal caso qual è il massimo; se A ha estremo superiore in, ed in tal caso qual è tale estremo superiore. Esercizio 2 (& punti) Posto A ³ {", #, $ } e B ³ {", #, $, %, &} quante sono le funzioni A Ä B; quante sono le funzioni iniettive A Ä B; quante sono le funzioni suriettive A Ä B; quante sono le funzioni crescenti A Ä B; quante sono le funzioni strettamente crescenti A Ä B; (Ricordiamo che una funzione 0: A Ä B si dice crescente se da B C segue sempre che 0( B) Ÿ0( C), si dice strettamente crescente se da B Csegue sempre che 0( B) 0( C)). (altri esercizi sul retro del foglio!)

8 Esercizio 3 (& punti) Si dimostri che per ogni numero naturale 8 " è 8!a&5 # b œ a 8 " ba &8 % b 5œ! Suggerimento: Si proceda per induzione su 8. #. Esercizio 4 (& punti) Sia '$* l anello delle classi di resto modulo '$*. Per ogni D, indichiamo con [ D] l elemento di '$* a cui D appartiene. Si dica quante soluzioni in '$* ha l equazione [ $(& ] B œ [#*(] e, se ve ne sono, si scrivano tutte esplicitamente. Esercizio 5 (& punti) Siano BCD25,,,, variabili proposizionali, e sia ^ ³ {{ B, C, D}, { B, C, 2}, { B, cd}, { cb, cd}, { cb, D, c2}, { cb, c5}, { C, cd, 5}, { D, 5}}. Si applichi l algoritmo di Davis-Putnam scegliendo come pivot prima B e poi C in quest ordine per stabilire se ^ è soddisfacibile. Qualora ^ sia soddisfacibile, si trovi una valutazione di verità A che soddisfa ^. Esercizio 6 (& punti) In un opportuno linguaggio della logica dei predicati, siano H e K simboli di predicato di arietà " e sia Buna variabile individuale. Si stabilisca, motivando la risposta, se ( ab) ah( B) Ä K( B ) b ( bb) ah( B ) K( B ) b } ( bb)k( B).